Dica 1: Como encontrar o centro de massa do corpo

Dica 1: Como encontrar o centro de massa do corpo



O ponto em que as linhas de ação das forças se cruzam,Eles chamam o movimento para a frente do corpo, chamam-no de centro de massa. A necessidade de calcular o centro de massa pode surgir tanto na resolução de problemas teóricos como práticos.





Como encontrar o centro da massa do corpo


















Você precisará




  • - fórmula para o cálculo do centro de massa.




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Deve-se ter em conta que a posição do centro de massadepende diretamente de como é distribuído sobre o volume do corpo de sua massa. O centro da massa nem sequer pode estar no próprio corpo, um exemplo desse objeto pode ser um anel homogêneo cujo centro de massa esteja em seu centro geométrico. Isto é - no vazio. Nos cálculos, o centro da massa pode ser considerado como um ponto matemático em que toda a massa do corpo é concentrada.





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Os conceitos do centro de gravidade e do centro de gravidade do corpo são muitosão próximos, portanto, em cálculos, na maioria dos casos, eles podem ser considerados sinônimos. A única diferença é que a gravidade é necessária para o conceito de centro de gravidade e o centro da massa está presente mesmo na ausência de gravidade. O corpo, caindo livremente e sem rotação, move-se sob a ação da força gravitacional aplicada em todos os seus pontos e seu centro de massa coincide com o centro de gravidade. A seguinte fórmula é usada para determinar o centro de massa na mecânica clássica.





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Aqui R. m. É o vetor do raio do centro de massa, mi é a massa do i-ésimo ponto, e ri é o vetor do raio do i-ésimo ponto do sistema. Na prática, em muitos casos, é fácil encontrar o centro de massa se o objeto tiver uma forma geométrica estrita. Por exemplo, para uma haste uniforme, está exatamente no meio. No paralelogramo - na interseção das diagonais, no triângulo é o ponto de interseção das medianas e, para um polígono regular, o centro de massa está no centro da simetria rotacional.




Como encontrar o centro da massa do corpo





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Para corpos mais complexos, o problema computacional torna-se mais complicado,neste caso, é necessário quebrar o objeto em volumes homogêneos. Para cada um deles, os centros de massa são calculados separadamente, após o que os valores encontrados são substituídos nas fórmulas correspondentes e o valor final é encontrado.





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Na prática, a necessidade de determinar o centro da massa(centro de gravidade) geralmente está associado ao trabalho de design. Por exemplo, ao projetar um navio, é importante garantir sua estabilidade. Se o centro de gravidade é muito alto, o navio pode se virar. Como calcular o parâmetro necessário para um objeto complexo, como um navio? Para isso, os centros de gravidade de seus elementos e agregados individuais estão localizados, após o que os valores encontrados são adicionados levando em consideração sua localização. Ao projetar o centro de gravidade geralmente está tentando se arranjar o mais baixo possível, então os agregados mais pesados ​​estão localizados na parte inferior.




























Dica 2: como determinar o centro da massa



O centro de massa é o mais importante geométrico ecaracterísticas técnicas do corpo. Sem calcular suas coordenadas, é impossível imaginar projetar em engenharia, resolvendo os problemas de construção e arquitetura. Uma determinação exata das coordenadas do centro de massa é feita usando o cálculo integral.





Como determinar o centro da massa








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O começo segue sempre de forma simples, gradualmentepassando para situações mais complexas. Proceder do fato de que o centro de massa de uma figura plana contínua D cuja densidade ρ é constante e uniformemente distribuída dentro dos limites está sujeita à definição. O argumento x varia de a para b, y de c para d. Divida a figura com uma grade de linhas verticais (x = x (i-1), x = xi (i = 1,2, ..., n)) e linhas horizontais (y = y (j-1), y = xj (j = 1, 2, ..., m)) em retângulos elementares com bases Δxi = xi-x (i-1) e altitudes Δyj = yj-y (j-1) (ver Figura 1). Nesse caso, encontre o meio do segmento elementar Δxi como ξi = (1/2) [xi + x (i-1)], e a altura Δyj como ηj = (1/2) [yj + y (j-1)]. Como a densidade é distribuída uniformemente, o centro de massa do retângulo elementar coincidirá com o seu centro geométrico. Ou seja, Xci = ξi, Yцi = ηj.




Como determinar o centro da massa





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A massa M de uma figura plana (se for desconhecida),Calcule como o produto da densidade por área. Substitua a área elementar por ds = ΔxiΔyj = dxdy. Imagine Δmij na forma dM = ρdS = ρdxdy e obtenha sua massa pela fórmula mostrada na figura. 2a. Em pequenos incrementos, considere que a massa Δmij é concentrada em um ponto material com as coordenadas Xci = ξi, Yti = ηj. A partir dos problemas da mecânica é sabido que cada coordenada do centro de massa de um sistema de pontos materiais é igual a uma fração cujo numerador contém a soma dos momentos estáticos das massas mν em relação ao eixo correspondente e o denominador é igual à soma dessas massas. O momento estático da massa mν, em relação ao eixo 0x, é yν * mν e em relação a 0y xν * mν.




Como determinar o centro da massa





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Aplique essa regra à situação em questãoe obter valores aproximados dos momentos estáticos Јx e Јy na forma Ју≈ {ΣξνρΔxνΔyν}, Јх≈ {ΣηνρΔxνΔyν} (a soma foi realizada em ν de 1 a N). As somas incluídas na última expressão são integrais. Vá para os limites deles para Δxν → 0 Δyν → 0 e anote as fórmulas finais (veja a Figura 2b). As coordenadas do centro de massa são encontradas dividindo o momento estatístico correspondente pela massa total da figura M.





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Metodologia para obter as coordenadas do centro de massaa figura espacial G difere apenas quando as integrais triplas surgem e os momentos estáticos são considerados em relação aos planos coordenados. Não devemos esquecer que a densidade não é necessariamente constante, isto é, ρ (x, y, z) ≠ const. Portanto, a resposta geral final e samyi tem a forma (veja a Figura 3).




Como determinar o centro da massa












Dica 3: Como encontrar o poder da atração



A lei da gravitação universal descoberta por Newton em1666 e publicado em 1687, diz que todos os corpos que têm uma massa são atraídos um para o outro. A formulação matemática permite não só estabelecer o fato de atração mútua de corpos, mas também medir sua força.





Como encontrar a força da atração








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Mesmo antes de Newton, muitos cientistas expressaramsuposições sobre a existência de gravitação universal. Desde o início, era óbvio para eles que a atração entre os dois corpos dependeria de sua massa e enfraquecesse com a distância. Johannes Kepler, o primeiro a descrever as órbitas elípticas dos planetas do sistema solar, acreditava que o Sol atrai o planeta com uma força inversamente proporcional à distância.





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Newton corrigiu o erro de Kepler: ele chegou à conclusão de que a força da atração mútua dos corpos é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles e é diretamente proporcional às suas massas.





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Finalmente, a lei da gravitação universalindicado como: quaisquer dois corpos com massas se atraem mutuamente, e a força de atracção é F = L * ((m1 * m2) / R ^ 2), em que m1 e m2 - de peso corporal, R - a distância entre os corpos, L - a constante gravitacional.





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A constante gravitacional é 6.6725 * 10 ^ (-11)m ^ 3 / (kg * s ^ 2). Este é um número extremamente pequeno, então a força gravitacional é uma das forças mais fracas do universo. No entanto, é ela quem guarda os planetas e as estrelas nas órbitas e, em geral, molda a imagem do universo.





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Se um corpo que participa de gravitação temforma aproximadamente esférica, então a distância R deve ser medida não da sua superfície, mas do centro de massa. Um ponto material com a mesma massa, localizado exatamente no centro, geraria exatamente a mesma força de atração. Em particular, isso significa que, por exemplo, ao calcular a força com a qual a Terra atrai uma pessoa em pé, a distância R não é igual a zero, mas ao raio da Terra. Na verdade, é igual à distância entre o centro da Terra e o centro de gravidade de uma pessoa, mas essa diferença pode ser negligenciada sem perda de precisão.





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A atração gravitacional é sempre mútua: Não só a Terra atrai uma pessoa, mas a pessoa, por sua vez, atrai a Terra. Por causa da enorme diferença entre a massa do homem e a massa do planeta, isso é invisível. Da mesma forma, ao calcular as trajetórias da nave espacial, geralmente negligencia o fato de que o aparelho atrai planetas e cometas para si próprio. No entanto, se as massas de objetos interagindo forem comparáveis, sua atração mútua torna-se perceptível para todos os participantes. Por exemplo, do ponto de vista da física não é inteiramente verdade dizer que a Lua gira em torno da Terra. Na realidade, a Lua e a Terra giram em torno de um centro de massa comum. Como nosso planeta é muito maior do que o seu satélite natural, esse centro está dentro dele, mas ainda não coincide com o centro da própria Terra.











Dica 4: como encontrar a massa do sol



Matemática e física, talvez a mais incrívelCiência disponível para o homem. Descrevendo o mundo através de leis bem definidas e calculáveis, os cientistas podem "chegar à ponta da caneta", o que, à primeira vista, parece impossível de medir.





Como encontrar a massa do sol








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Uma das leis básicas da física é a lei do mundode gravitação. Diz que todos os corpos do universo são atraídos uns aos outros com uma força igual a F = G * m1 * m2 / r ^ 2. Neste caso G é uma constante definida (será indicado diretamente durante o cálculo), m1 e m2 indicam as massas dos corpos e r é a distância entre eles.





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Missa A Terra pode ser calculada com base em um experimento. Com a ajuda de um pêndulo e um cronômetro, é possível calcular a aceleração da gravidade g (o passo será omitido após insignificância), igual a 10 m / s ^ 2. De acordo com a segunda lei de Newton, F pode ser representado como m * a. Portanto, para um corpo atraído para a Terra: m2 * a2 = G * m1 * m2 / r ^ 2, onde m2 é a massa do corpo, m1 é a massa da Terra e a2 = g. Após as transformações (contrações de m2 em ambas as partes, transferência de m1 para a esquerda e a2 para a direita), a equação assume a seguinte forma: m1 = (ar) ^ 2 / G. A substituição dos valores dá m1 = 6 * 10 ^ 27





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O cálculo da massa da lua baseia-se na regra: As distâncias dos corpos para o centro de massa do sistema são inversamente proporcionais às massas dos corpos. Sabe-se que a Terra e a Lua giram em torno de um determinado ponto (Цм), e as distâncias dos centros dos planetas até este ponto são tratadas como 1 / 81,3. Daí Mn = M3 / S3.3 = 7,35 * 10 ^ 25.





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Outros cálculos são baseados na terceira lei Kepler, segundo a qual (T1 / T2) ^ 2 * (M1 + Mc) / (M2 + Mc) = (L1 / L2) ^ 3, onde T é o período de revolução do corpo celeste ao redor Do sol, L é a distância até a última, M1, M2 e Mc-massas de dois corpos e estrelas celestiais, respectivamente. Tendo formado equações para dois sistemas (terra + lua-sol / terra-lua), pode-se ver que uma parte da equação é obtida como um todo e, portanto, a última pode ser equiparada.





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A fórmula de cálculo na forma mais geral éAs massas dos corpos celestes foram calculadas teoricamente, os períodos de revolução são praticamente os mesmos, o cálculo L envolve o uso de cálculos matemáticos volumétricos ou Métodos práticos: após a simplificação e substituição dos valores necessários, a equação assume a forma: Mc / Ms + Mn = 329.390. Por isso Mc = 3.3 * 10 ^ 33.











Dica 5: como encontrar energia cinética



A energia cinética é a energia de uma mecânicasistema, que depende da velocidade de movimento de cada um dos seus pontos. Em outras palavras, a energia cinética é a diferença entre o total de energia ea energia restante do sistema, que parte da energia total do sistema, que é causada pelo movimento. A energia cinética é dividido em energia movimento de tradução e rotacional. A unidade de medida da energia cinética no sistema SI é Joule.





Como encontrar a energia cinética








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No caso do movimento translacional, todos os pontosos sistemas (corpos) têm a mesma velocidade de movimento, que são iguais à velocidade de movimento do centro de massa do corpo. Nesse caso, a energia cinética do sistema Тпост é igual a: Тпост =? (mk Vc2) / 2, onde mk é a massa do corpo, Vc é a velocidade do centro de massa. Assim, com o movimento de translação do corpo, a energia cinética é igual ao produto da massa do corpo por quadrado da velocidade do centro de massa dividido por dois. Neste caso, o valor da energia cinética não depende da direção do movimento.





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Ao girar, quando o corpo rodaem torno de qualquer eixo Oz, a velocidade de qualquer um dos seus pontos determina a equação: Vk =? hk, onde hk é a distância do ponto dado ao eixo de rotação? velocidade angular do corpo. Se substituímos a equação que determina a velocidade de um ponto em uma expressão e coloca os fatores comuns entre parênteses, obtemos a equação da energia cinética do sistema no caso de movimento rotativo: Tpp =? (mk? 2 hk2) / 2 =? (mk hk2)? 2 / 2Expression entre parênteses é o momento de inércia do corpo, em relação ao eixo em torno do qual o corpo gira. Assim, obtemos: Tpp = (Iz2) / 2, onde Iz é o momento de inércia do corpo. Assim, com o movimento rotacional do corpo, sua energia cinética é igual ao produto do momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação pelo quadrado de sua velocidade angular dividida pela metade. Nesse caso, a direção de rotação do corpo não afeta os valores de sua energia cinética.





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No caso de um corpo absolutamente rígido, a energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas dos movimentos de translação e rotação: T = (mk Vc2) / 2 + (Iz2) / 2











Dica 6: como determinar o centro de gravidade



Mesmo na escola em aulas de física, somos a primeira veznos familiarizamos com um conceito como o centro de gravidade. A tarefa não é fácil, mas é compreensível e compreensível. Não só o jovem físico deve conhecer a definição do centro de gravidade. E se você encontrar esse problema, você deve recorrer a prompts e lembretes para atualizar sua memória.





Como determinar o centro de gravidade








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Proshtudirovav livros didáticos de física, mecânica, dicionáriosou enciclopédia, você tropeça com a definição do centro de gravidade ou, de outra forma, chamado centro de massa. Em diferentes ciências, definições ligeiramente diferentes, mas a essência, de fato, não é perdida. O centro de gravidade está sempre no centro da simetria do corpo. Para um conceito mais gráfico, "o centro de gravidade (ou designado como o centro de massa) é um ponto invariavelmente associado a um sólido. Através dele passa uma resultante da gravidade agindo sobre uma partícula de um determinado corpo para qualquer posição ".





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Se o centro de gravidade de um sólido for um ponto, deve ter suas coordenadas. Para determinar, é importante conhecer as coordenadas da x, y, z, i-ésima parte do corpo e o peso indicado por - p.





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Considere um exemplo de um problema.Dois corpos de diferentes massas m1 e m2 são dados, aos quais diferentes forças de peso atuam (como mostrado na figura). Escrevendo as fórmulas de peso: P1 = m1 * g, P2 = m2 * g; O centro de gravidade está entre as duas massas. E se todo o corpo for suspenso em t O, o valor do equilíbrio virá, isto é, esses objetos deixarão de superar um ao outro.





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Uma variedade de formas geométricascálculos físicos e matemáticos sobre o centro de gravidade. A cada uma, sua própria abordagem e seu método. Considerando o disco, especificamos que o centro de gravidade está dentro dele, ou melhor, no ponto de interseção de diâmetros (como mostrado na figura em T. - o ponto de interseção dos diâmetros). Do mesmo modo, são encontrados os centros de um paralelepípedo ou uma bola homogênea.





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O disco representado e dois corpos com massas m1 e m2- massa homogênea e forma regular. Aqui, pode-se notar que o centro de gravidade requerido está dentro desses objetos. No entanto, em corpos com uma forma não uniforme e irregular, o centro pode estar fora do objeto. Você sente que a tarefa já está se tornando mais complicada.