Como determinar o centro da massa

Como determinar o centro da massa



O centro de massa é o mais importante geométrico ecaracterísticas técnicas do corpo. Sem calcular suas coordenadas, é impossível imaginar projetar em engenharia, resolvendo os problemas de construção e arquitetura. Uma determinação exata das coordenadas do centro de massa é feita usando o cálculo integral.





Como determinar o centro da massa


















Instruções





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O começo segue sempre de forma simples, gradualmentepassando para situações mais complexas. Proceder do fato de que o centro de massa de uma figura plana contínua D cuja densidade ρ é constante e uniformemente distribuída dentro dos limites está sujeita à definição. O argumento x varia de a para b, y de c para d. Divida a figura com uma grade de linhas verticais (x = x (i-1), x = xi (i = 1,2, ..., n)) e linhas horizontais (y = y (j-1), y = xj (j = 1, 2, ..., m)) em retângulos elementares com bases Δxi = xi-x (i-1) e altitudes Δyj = yj-y (j-1) (ver Figura 1). Nesse caso, encontre o meio do segmento elementar Δxi como ξi = (1/2) [xi + x (i-1)], e a altura Δyj como ηj = (1/2) [yj + y (j-1)]. Como a densidade é distribuída uniformemente, o centro de massa do retângulo elementar coincidirá com o seu centro geométrico. Ou seja, Xci = ξi, Yцi = ηj.




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A massa M de uma figura plana (se for desconhecida),Calcule como o produto da densidade por área. Substitua a área elementar por ds = ΔxiΔyj = dxdy. Imagine Δmij na forma dM = ρdS = ρdxdy e obtenha sua massa pela fórmula mostrada na figura. 2a. Em pequenos incrementos, considere que a massa Δmij é concentrada em um ponto material com as coordenadas Xci = ξi, Yti = ηj. A partir dos problemas da mecânica é sabido que cada coordenada do centro de massa de um sistema de pontos materiais é igual a uma fração cujo numerador contém a soma dos momentos estáticos das massas mν em relação ao eixo correspondente e o denominador é igual à soma dessas massas. O momento estático da massa mν, em relação ao eixo 0x, é yν * mν e em relação a 0y xν * mν.




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Aplique essa regra à situação em questãoe obter valores aproximados dos momentos estáticos Јx e Јy na forma Ју≈ {ΣξνρΔxνΔyν}, Јх≈ {ΣηνρΔxνΔyν} (a soma foi realizada em ν de 1 a N). As somas incluídas na última expressão são integrais. Vá para os limites deles para Δxν → 0 Δyν → 0 e anote as fórmulas finais (veja a Figura 2b). As coordenadas do centro de massa são encontradas dividindo o momento estatístico correspondente pela massa total da figura M.





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Metodologia para obter as coordenadas do centro de massaa figura espacial G difere apenas quando as integrais triplas surgem e os momentos estáticos são considerados em relação aos planos coordenados. Não devemos esquecer que a densidade não é necessariamente constante, isto é, ρ (x, y, z) ≠ const. Portanto, a resposta geral final e samyi tem a forma (veja a Figura 3).




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